Jose Rodrigo (Warwick)
On the evolution of almost-sharp
fronts for the surface quasi-geostrophic equation.
Almost-sharp fronts for SQG are special solutions with arbitrarily
large gradient in a small neighborhood of a curve, and are the analogue
scenario to vortex tubes for 3D Euler.
In particular we will show the existence of ``spine'' for almost-sharp
fronts, that best describes their evolution (joint work with C.
Fefferman and K. Luli).
I'll show how to obtain a limit equation for a family of almost-sharp
fronts when the thickness goes to zero (an equation that contains
Prandtl-like terms even though there is no viscosity in the problem),
and show how to construct, in the analytic case, almost-sharp fronts
whose time of existence is independent of the thickness.
Le 15 mai à Jussieu.
Nassif Ghoussoub (University
of British Columbia)
A Self-dual version of Brenier's
Polar Factorization for Vector Fields.
I will describe how any non-degenerate vector field on a bounded domain
of Euclidean space is monotone up to a measure preserving involution.
This is a "self-dual" version of Brenier's polar decomposition, which
states that such a vector field is cyclically monotone up to a measure
preserving transformation. We also describe how our polar decomposition
can be reformulated as a (self-dual) mass transport problem.
Le 20 mars à Jussieu.
Kung-Chien Wu (Cambridge)
Hydrodynamic limits of
Schrödinger type equations.
In this talk, we consider the hydrodynamic limits of Schrodinger
type equations (Quantum hydrodynamic model and Cross-Pitaveskii
equation) with general initial data and nonconstant density, the limit
equation is the anelastic system (generalized incompressible Euler
equation) plus a fast singular oscillating gradient vector field.
Le 20 mars à Jussieu.
Romain Joly (Grenoble)
Dynamique générique des
équations paraboliques.
Le sujet de cet exposé est la dynamique qualitative
générique d'équations paraboliques scalaires du
type $u_t=\Delta u+f(x,u,\nabla
u)$ sur un domaine $\Omega$ borné. Les équilibres de ces
équations sont-ils hyperboliques ? Peut-il y avoir des orbites
périodiques et si oui, sont-elles isolées ?
La dynamique engendrée par les EDP paraboliques est-elle simple
ou peut-elle exhiber du chaos ? Reste-t-elle qualitativement la
même quand on change un peu les paramètres de
l'équation ? On verra que la réponse à ces
questions nécessite des théorèmes de type
prolongement unique sur l'EDP et une compréhension
fine de l'ensemble nodal singulier des solutions. Il s'agit en
partied'un travail en commun avec Geneviève Raugel et Pavol
Brunovsky.
Le 6 mars à l'IHP.
Nicolas Rougerie (LPMMC,
Grenoble)
Dérivation de la
théorie de Pekar du polaron à partir d'un modèle
de cristal quantique.
Un polaron est un électron en interaction avec un cristal
polaire, capable de former un état lié grâce aux
perturbations que sa densité de charge induit dans le cristal
hôte. La théorie de Pekar modélise l'interaction
cristal/électron par un terme effectif de type Coulomb attractif
ajouté à la fonctionnelle d'énergie de
l'électron. Cette description suppose que l'électron est
étalé sur une région d'espace grande devant
l'échelle caractéristique du cristal (grand polaron).
Dans cet exposé nous introduisons un modèle de petit
polaron où le cristal est explicitement pris en compte dans le
cadre de la théorie de Hartree-Fock. Nous étudions
ensuite le cas d'un grand polaron et démontrons que la
théorie de Pekar se
déduit de la limite macroscopique de notre modèle.
Collaboration avec Mathieu Lewin.
Le 17 janvier à Jussieu.
Antoine Mellet (University
of
Maryland)
A free boundary problem for thin films.
The lubrication approximation leads to a fourth order degenerate
equation modeling the evolution of small viscous droplets on a solid
support (the thin film equation). Along the contact line (the free
boundary), the solution must satisfy a gradient condition (contact
angle
condition). While many existence and regularity results are known for
solutions with zero contact angle, the only existence result with
non-zero contact angle
is due to F. Otto and only holds in some particular framework
(Hele-Shaw cell). We consider a singular perturbation approach
to generalize Otto's result.
Le 3 janvier à l'IHP.
Didier Bresch
(Université de Savoie)
Instabilité de
Kelvin-Helmholtz en présence de surface libre.
Dans un travail en collaboration avec Michael Renardy de Virginia Tech,
on revisite analytiquement l'instabilité de
Kelvin-Helmholtz en présence de surface libre. On
démontre que les ondes longues sont linéairement stables
si la surface du dessus est une surface
libre et si la gravité est suffisamment petite. On
considère également des profils de vitesse
réguliers pour l'écoulement de base plutôt qu'un
saut en vitesse et on montre que la stabilité linéaire
reste vraie pour une gravité suffisamment petite dans le cas de
profil monotone. Nous
discuterons certains travaux récents à la lumière
de notre résultat et présenterons également
rapidement le travail récent de M. et Y. Renardy
qui est en quelque sorte lié au nôtre mais plutôt
orienté numérique. On donne également un exemple
de profil non monotone pour lequel il n'y a pas stabilité.
Le 22 novembre à l'IHP.
Mohammed Lemou (IRMAR,
Rennes)
Stabilité orbitale de
modèles cinétiques pour la gravitation.
On considère le système cinétique de
Vlasov-Poisson tridimensionnel qui est un modèle canonique
en astrophysique pour décrire la dynamique de systèmes
gravitationnels.
Une conjecture connue dans ce domaine est la stabilité de tous
les états stationnaires à symétrie radiale qui
sont des fonctions décroissantes de leur énergie
microscopique. Cette conjecture a été prouvée pour
le système linéarisé par plusieurs auteurs
en s'inspirant du travail pionnier de Antonov en 1961. Dans un travail
récent (2010), nous avons montré la stabilité non
linéaire de ces états stationnaires (avec une
dépendance éventuelle du moment angulaire) sous des
perturbations à symétrie sphérique en utilisant
une propriété cruciale de monotonie du Hamiltonien qui a
déjà été observée dans la
littérature physique: La décroissance de l'énergie
sous l'action d'un réarrangement symétrique
approprié qui généralise la notion de
réarrangement standard.
Dans cet exposé, je parlerai d'un travail plus récent
dans lequel nous montrons qu'une combinaison de cette approche avec une
nouvelle inégalité de type Antonov
généralisée (inégalité de type
Poincaré également) permet de prouver la
stabilité orbitale non linéaire de modèles
sphériques sous l'action de perturbations quelconques. Ce
résultat de stabilité peut être quantifié
à travers des inégalités fonctionnelles qui seront
discutées à la fin de l'exposé.
Le 8 novembre à Jussieu.
Mathieu Lewin (Cergy)
Une inégalité de
Lieb-Thirring dans le spectre continu.
L'inégalité de
Lieb-Thirring est une borne sur la somme des valeurs propres
négatives d'un opérateur du type $-\Delta +V(x)$, en
fonction de la taille de la fonction $V$ dans $L^{1+d/2}$ où $d$
est la dimension de l'espace. Après avoir brièvement
rappelé cette inégalité et ses
propriétés principales, je présenterai une
extension au cas ou la somme des valeurs propres négatives est
remplacée par la "somme des valeurs propres en dessous de 1"
(correctement renormalisée puisqu'il s'agit de spectre continu).
Je mentionnerai également certaines implications physiques de
cette nouvelle inégalité.
Travail en collaboration avec R. Frank (Princeton), E.H. Lieb
(Princeton) et R. Seiringer (McGill, Montréal).
Le 4
octobre à Jussieu.