eiden.toc

5 Alignement et concours

5.1 Condition d'alignement de trois points
5.2 Équations paramétriques de droites

5.2.1 Cas de la droite passant par deux points
5.2.2 Cas des droites d'un faisceau linéaire

5.3 Condition de concours de trois droites

6 Cas particuliers
7 Matrice d'une application affine

7.1 La formule matricielle
7.2 Vecteurs propres et points fixes
7.3 Les symétries centrales
7.4 Les homothéties-translations
7.5 Application : le cercle d'Euler

7.5.1 Définition du cercle d'Euler.
7.5.2 L'équation barycentrique du cercle d'Euler

8 Changement de triangle de référence
9 Un exemple d'homographie : l'inversion harmonique
10 Coordonnées barycentriques de quelques points remarquables

10.1 Les (!) centres de gravité
10.2 Le centre du cercle circonscrit
10.3 L'orthocentre
10.4 Le centre du cercle d'Euler
10.5 Les centres des cercles (ex)inscrits
10.6 Pour ne pas en rester là

1 Introduction
2 Étude des coniques circonscrites

2.1 Les coniques circonscrites
2.2 Cinq points définissent une conique
2.3 Un petit Nullstellensatz
2.4 Le centre d'une conique circonscrite
2.5 Le genre d'une conique circonscrite
2.6 Les tangentes à une conique circonscrite
2.7 La conjugaison (harmonique) par rapport à une conique
2.8 Les asymptotes d'une hyperbole circonscrite
2.9 Directions conjuguées d'une conique

2.9.1 Milieux de cordes
2.9.2 Conjugaison et bilinéarité
2.9.3 Conjugaison et polarité
2.9.4 Le cas particulier des cercles

2.10 L'équation barycentrique du cercle circonscrit
2.11 Du côté de chez Leibniz
2.12 Les cercles du plan
2.13 L'axe radical de deux cercles. Version algébrique
2.14 Cercles possédant un triangle autopolaire donné

3 Autour du théorème de Pascal

3.1 Le théorème de Pascal
3.2 Un déterminant impressionnant... en apparence

4 Quelques résultats sur les coniques générales

4.1 Le théorème de Carnot
4.2 Alignement de trois images affines

4.2.1 Généralités
4.2.2 Des configurations particulières
4.2.3 La droite de Simson et l'hypocycloïde de Steiner
4.2.4 Deux constructions préparatoires
4.2.5 Le $H_3$ par la face Nord : le problème $P_1$
4.2.6 Le $H_3$ par la face Sud : le problème $P_2$
4.2.7 En guise de conclusion

1 L'inversion isotomique

1.1 Définition
1.2 Cas particuliers

2 Droites, coniques et inversion isotomique

2.1 L'inverse isotomique d'une droite cévienne
2.2 L'inverse isotomique d'une droite non cévienne

3 Application à des constructions géométriques

3.1 Combien de paraboles par quatre points
3.2 Secrets de fabrication. Les triangles autopolaires
3.3 Le quatrième point commun à deux coniques

4 Triangles et polarisation

4.1 La polaire triangulaire (ou trilinéaire)
4.2 La dualité, ou polarisation, «formelle»

4.2.1 Préliminaires
4.2.2 Dualité et constructions géométriques
4.2.3 Propriétés de la dualité

5 Définition de l'inversion isogonale

5.1 La preuve géométrique
5.2 La preuve par les homographies
5.3 Premières propriétés

6 Des couples célèbres
7 Droites, coniques et inversion isogonale

7.1 L'inverse isogonal d'une droite cévienne
7.2 L'inverse isogonal d'une droite non cévienne

8 Hyperboles équilatères circonscrites à un triangle

8.1 Propriétés générales
8.2 Théorème de Pascal et hyperboles équilatères

9 Deux exercices de révision

9.1 Les deux inversions
9.2 Des triangles d'aires égales

1 Faisceaux linéaires de coniques circonscrites

1.1 Les faisceaux à quatre points de base

1.1.1 Faisceaux et inversion isogonale
1.1.2 La conique des neuf points

1.2 Les faisceaux de coniques tangentes
1.3 Coniques remarquables d'un faisceau
1.4 Le point de Frégier
1.5 Une belle figure

2 Applications des faisceaux linéaires

2.1 Discussion de l'existence d'un triangle autopolaire commun
2.2 Le cas des cercles et le théorème de Feuerbach
2.3 Faisceaux linéaires et conjugaison isogonale

2.3.1 Faisceaux et involutions quadratiques
2.3.2 Application à l'inversion isogonale

3 Points cycliques et foyers d'une conique inscrite

3.1 Une brève présentation des points cycliques
3.2 Coordonnées barycentriques des points cycliques
3.3 Foyers d'une conique inscrite
3.4 Foyers des coniques tangentes à quatre droites

1 Introduction

1.1 Présentation du chapitre
1.2 Conventions et rappels de notations

2 Généralités
3 Application des complexes à la Géométrie du triangle

3.1 L'aire d'un triangle
3.2 Quelques points et une configuration remarquables
3.3 Symétries et projections orthogonales

4 Deux exemples et des exercices

4.1 Intersection de droites et polarité
4.2 L'astuce de Morley
4.3 Un peu de théorie de Galois
4.4 Huit exercices

5 Homographies du plan complexe

5.1 Généralités
5.2 Homographies stabilisant le cercle-unité
5.3 Le groupe ${\bf PO}(\mathbb {U})$
5.4 Les involutions de Frégier de $\mathbb {U}$
5.5 Génération de ${\bf PO}(\mathbb {U})$ par les involutions de Frégier

5.5.1 Le cas $\beta \not =0$
5.5.2 Le cas $\beta =0$

6 Le théorème de Pascal
7 L'inversion

7.1 Définition
7.2 Le théorème de Ptolémée

8 Les triangles équilatéraux

8.1 Caractérisation des triangles équilatéraux par les affixes des sommets
8.2 Les centres isodynamiques
8.3 Quelques propriétés
8.4 La configuration de Fermat--Torricelli
8.5 Annexe

8.5.1 La fonction de Fermat
8.5.2 L'orthologie
8.5.3 Orthologie et isogonalité

9 Homographies, conformité et birapport

9.1 Les homographies en tant qu'applications conformes
9.2 Interprétation géométrique des homographies
9.3 Homographies, droites et cercles
9.4 Arcs capables et cercles d'Apollonius
9.5 Le birapport

9.5.1 Définition et formules
9.5.2 Birapport et permutations
9.5.3 Birapport et homographies
9.5.4 Les homographies, les involutions et leurs points fixes
9.5.5 Birapport, droites et cercles
9.5.6 Les quadrangles harmoniques
9.5.7 Harmonie, formes quadratiques et trace
9.5.8 Les quadrangles équiharmoniques
9.5.9 Formule des six birapports et applications

10 Corrigé des exercices

1 Les équations formelles des cercles-droites

1.1 Polynômes et équations formelles
1.2 La forme quadratique fondamentale
1.3 Interprétation projective
1.4 Orthogonalité, contact, intersection, équation tangentielle
1.5 Homographies et forme quadratique fondamentale
1.6 La démonstration en suspens
1.7 Résumé des principaux résultats de ce paragraphe

2 L'axe radical. Version géométrique

2.1 Puissance d'un point par rapport à un cercle
2.2 Cercles laissés stables par une inversion
2.3 L'axe radical de deux cercles

3 Faisceaux de cercles

3.1 Définition et classification
3.2 Propriétés algébriques des faisceaux
3.3 Quelques constructions relatives aux faisceaux

3.3.1 Cercle d'un faisceau passant par un point
3.3.2 Cercle d'un faisceau ayant un centre donné
3.3.3 Cercles d'un faisceau tangents à une droite donnée
3.3.4 Centres d'homothétie et faisceaux

3.4 Action du groupe de Möbius sur les faisceaux
3.4.1 Prolégomènes algébriques
3.4.2 Étude géométrique
3.4.3 Applications

4 L'alternative de Steiner

4.1 Les coniques reviennent
4.2 Un détour par les enveloppes de cercles
4.3 Une chaîne de cercles
4.4 Et si la chaîne se refermait

4.4.1 La preuve classique
4.4.2 Une preuve algébrique
4.4.3 Pour aller plus loin

5 Voyage dans l'espace (des cercles-droites)

5.1 Exposé du problème
5.2 Les trois faisceaux d'Apollonius
5.3 Trois faisceaux concourants
5.4 Pour terminer en beauté

6 Corrigé des exercices

1 Vecteurs et coordonnées barycentriques
2 Nombre de droites de Simson passant par un point donné
3 Intersection d'une conique et d'une droite

3.1 Retour vers la classification des coniques
3.2 Caractérisation des hyperboles et de leurs asymptotes

4 Intersection d'une conique et d'une courbe algébrique

4.1 Représentation paramétrique d'une conique circonscrite
4.2 Un cas particulier du théorème de Bezout
4.3 Le théorème de Pascal

5 Tangentes à une courbe algébrique

5.1 L'identité d'Euler
5.2 L'équation d'une tangente
5.3 Tangentiel et inversion isogonale
5.4 L'équation tangentielle d'une conique

5.4.1 Généralités
5.4.2 Dualité, équations barycentriques et équations tangentielles
5.4.3 Dualité et théorème de Brianchon
5.4.4 Le cas des coniques inscrites
5.4.5 Retour sur un exercice
5.4.6 Équations tangentielles et lieux orthoptiques

5.5 Un mot sur les faisceaux tangentiels de coniques

5.5.1 Introduction
5.5.2 Les faisceaux tangentiels

6 Étude de la famille ${\mathbf F}$ de la section {\bf \unskip ~\ref {apotheose}}
7 Un exercice : hyperboles équilatères et faisceaux tangentiels

7.1 Énoncé
7.2 Corrigé
7.3 Remarques et compléments

7.3.1 La question de l'angle obtus
7.3.2 Le cas des cercles tangents
7.3.3 La circonscription harmonique
7.3.4 Le cas du parallélisme de $BB'$ et de $CC'$

1 Notion d'espace affine

1.1 Espaces affines
1.2 Sous-espaces affines
1.3 Notion de bipoint
1.4 Applications affines
1.5 Formes affines
1.6 Bijections affines
1.7 L'espace des applications affines
1.8 Les espaces affines, canal historique

2 Bases affines

2.1 Notions de base et de repère affines
2.2 Coordonnées d'un point
2.3 Équations d'un sous-espace affine

3 Barycentres

3.1 Barycentre d'une famille finie de points massiques
3.2 Coordonnées barycentriques
3.3 Condition d'alignement
3.4 Équations barycentriques de droites

4 Complétion projective et complexification

4.1 Complétion projective d'un espace affine
4.2 Homographies
4.3 Extraction d'un espace affine d'un espace projectif

4.3.1 Les supplémentaires d'un sous-espace vectoriel
4.3.2 Faisons le point grâce à deux exercices
4.3.3 Un transport de structure
4.3.4 Principe d'utilisation de ces constructions

4.4 Complexification d'un espace vectoriel réel
4.5 Complexification d'un espace affine réel
4.6 Complexification d'un espace quadratique réel
4.7 Espaces affines réels euclidiens
4.8 Complétion projective complexe d'un espace affine euclidien
4.9 Retour sur le cercle circonscrit et les points cycliques
4.10 Coniques affines et coniques projectives
4.11 À quoi bon