Cette page contient trois exemples d'ensembles du plan. Les deux premiers sont des exemples hyper-classiques, à la Cantor. Le troisième correspond à la trajectoire parcourue dans le plan complexe par la fonction  f  continue de l'exercice 4.6 (page agrég. 2000-2001, exercices), pour un choix particulier de  K  et des nombres complexes   wj.


L'ensemble ci-dessous s'appelle le "tapis de Sierpinski" (en anglais Sierpinski's carpet); comme l'ensemble triadique de Cantor sur le segment (0, 1), il est obtenu en enlevant dans un carré le neuvième central et en itérant l'opération. On peut facilement constater que certaines des sections de cet ensemble du plan sont égales à l'ensemble triadique de Cantor. L'ensemble final est un compact de mesure nulle, pour la même raison que le triadique de Cantor est de mesure nulle: à chaque étape de la construction la mesure est multipliée par  8 / 9.



L'ensemble ci-dessous s'appelle le "joint de culasse de Sierpinski" (en anglais Sierpinski's gasket); cette fois on enlève le quart médian d'un triangle équilatéral et on itère l'opération. L'ensemble final est encore un compact de mesure nulle.



On considère la fonction continue   f   de l'exercice 4.6, dans le cas où   K = 3   et où on a
  w0 = w2 = 1 / 2 + b  i / 2,    w1 = - b   i
avec b2 = 1 / 3.
On trace la trajectoire t-->f(t)  pour t  variant dans (0, 1). Comme pour la courbe de Peano, la trajectoire remplit un ouvert du plan.
Le changement de couleur de l'image correspond à la variation du paramètre t entre 0 et 1; quand t = 0 on part dans le vert et on finit dans le rouge quand t = 1; au milieu la couleur est jaune. L'ensemble obtenu a la particularité de permettre un pavage ternaire du plan en morceaux obtenus par déplacements du morceau de base, et dans l'autre direction l'ensemble se décompose en trois ensembles identiques (à déplacement près).


Posté en octobre 2000