Vincent Delecroix

Présentation

Je travaille en théorie des systèmes dynamiques et plus particulièrement sur deux types de modèles qui sont en interaction : certains systèmes d'entropie nulle (rotations, billards rationnels, points fixes de substitutions primitives, ...) et les dynamiques d'induction/renormalisation associées (fractions continues, flot de Teichmüller, systèmes S-adiques, ...) dont la dynamique est plutôt hyperbolique.

Je suis actuellement en post-doc avec Artur Avila dans l'équipe de géométrie et dynamique de l'Institut de Mathématiques, Paris VII.

Recherche

Mon travail de recherche concerne l'étude de familles de systèmes dynamiques via des procédures d'induction/renormalisation. Un exemple important d'une telle famille est celui des flot de translations sur les surfaces dont la renormalisation est le flot de Teichmüller. Dans sa version en temps discret, cette famille corresponds aux échanges d'intervalles et l'induction de Rauzy. Le but de la renormalisation est d'établir un lien entre les propriétés dynamiques d'un système avec son comportement sous la renormalisation afin d'en déduire des résultats pour la famille à partir des propriétés de la renormalisation.

Une autre partie de mon travail est l'étude de produits croisés associés à ces familles renormalisables. En temps discret, cela revient à étudier le comportement de sommes de Birkhoff. Ces techniques permettent de décrire la dynamique de certains billards périodiques dans le plan.

thèse

J'ai soutenue ma thèse sous la direction d'Arnaldo Nogueira le 16 Novembre 2011 (présentation au format pdf). Mon mémoire est disponible en version longue (173 pages) et en version courte (57 pages, contient l'introduction en français et la bibliographie de la version longue).

Prépublications

• V. Delecroix, P. Hubert et S. Lelièvre "Diffusion for the periodic wind-tree model" prepublication arXiv:1107.1810
• V. Delecroix Divergent directions in some periodic wind-tree models prepublication arXiv:1107.2418
• V. Delecroix "Cardinality of Rauzy classes" prepublication arXiv:1106.0807
• V. Delecroix et C. Mathéus "Un contre-exemple à la réciproque du critère de Forni pour la positivité des exposants de Lyapunov du cocycle de Kontsevich-Zorich prepublication arXiv:1103.1560

Liste des collaborateurs: P. Hubert, S. Lelièvre, C. Matheus.

groupes de travail

J'ai coorganisé avec Pascal Hubert et Erwan Lanneau un groupe de travail sur les travaux de Benoist-Quint (la page contient quelques notes de cours et des références).

Exposés de séminaires

• 27/01/2012, séminaire Géométrie Dynamique, Laboratoire Paul Painlevé (Lille) "Billards périodiques dans le plan"
• 13/01/2012, séminaires Automates, LIAFA (Paris), "Trajectoires divergentes du vent dans les arbres"
• 13/12/2011, Combinatorial and Algebraic Structures Seminar (Prague, République tchèque), "Divergent trajectories in a windtree model" (avec une présentation)
• 01/12/2011, Ergodic Theory and Dynamical Systems seminar (Bristol, Angleterre) "Recurrence and diffusion for the periodic windtree model"
• 25/11/2011, séminaire de systèmes dynamiques de l'IMJ (Paris), Le vent dans les arbres
• 08/11/2011, séminaire de théorie ergodique de l'UPMC (Paris), Trajectoires divergentes du vent dans les arbres
• 12/10/2011, théorie ergodique et systèmes dynamiques de Villetaneuse (Paris)
• 02/05/2011, séminaire de théorie ergodique de l'IRMAR (Rennes)
• 09/12/2010, séminaire Géométrie - Topologie Dynamique (Orsay) "Diffusion du vent dans les arbres"
• 23/10/2010, séminaire Teich (Marseille), "Diffusion du vent dans les arbres"
• 14/01/2010, CPT rendez-vous des thésards (Marseille), "Dans un billard"
• 08/12/2009, IML (Marseille) "Comptage des classes de Rauzy"
• 10/12/2009, LIF (Marseille) "Classification de billards. Comptages" (avec une présentation)

Exposés de conférences

• 08/12/2011, (Moscou, Russie), "Diffusion coefficient of periodic billiards in the plane", (Flows on surfaces, symbolic dynamics and dynamics in moduli spaces dedicated to the 75th birthday of D. V. Anosov)
• 18/07/2011, (Bedlewo, Pologne), "Recurrence and diffusion in the wind-tree model" (Modern Dynamics and its Interaction with Analysis, Geometry and Number Theory)
• 08/05/2011, (Oberwolfach, Allemagne), "Diffusion rate in the wind-tree model" (avec un résumé en anglais)
• 07/02/2011, (Perpignan), Trajectoires divergentes du vent dans les arbres (avec une présentation illustrée) (RAIM'11 : 4es Rencontres Arithmétique de l'Informatique Mathématique)
• 26/02/2010, CIRM (Marseille), mois thématique math-info "Rauzy graphs and Rauzy diagrams" (Math-Info 2010, Vers de nouvelles interactions entre mathématiques et informatique)

Enseignement

• 2010/2011 (marseille):
  • premier semestre: Arithmétique et informatique au CAPES
  • second semestre: Algèbre linéaire MAT24
• 2009/2010 (marseille):
  • premier semestre : TD de statistiques MAT 40 (groupes 13 et 15).
• 2008/2009 (marseille):
  • premier semestre : TD de statistiques
  • second semestre : TD d'algèbre linéaire.

Si vous voulez apprendre à vous servir du logiciel de math Sage je vous conseille les livres (libres) suivants

• "Calcul mathématique avec Sage" de A. Camassayou, G. Connan, T. Dumont, L. Fousse, F. Maltey, M. Meulien, M. Mezzarobba, C. Pernet, N. Thierry et P. Zimmermann (en francais)
• "Elementary number theory: primes, congruences and secrets" de William Stein (en anglais)
• "graph-theory-algorithms-book" de David Joyner, Minh Van Nguyen, et Nathann Cohen (en anglais).

Diffusion et popularisation de la recherche

• Organisation d'une journée Sage-lycée au CIRM en Février 2010 en collaboration avec Anne Crumière.
• Mise en place d'un serveur de calcul Sage à l'IREM d'Aix-Marseille à l'adresse

  http://sage.irem.univ-mrs.fr

• quelques feuilles d'exemples en SAGE (voir http://sage.irem.univ-mrs.fr)
• Encadrement de groupes MATh.en.JEANS (2010-2011: Gap, "théorème de Pick", "étude du temps d'attente dans une cantine")
• Participation aux activités de l'association Maths pour tous

Programmation (ou mathématiques expérimentales)

Je travaille sur des algorithmes autour de la dynamique symbolique et de la thérie de Teichmüller.

Géométrie hyperboliqe

Je prépare pour le logiciel SAGE, un patch pour dessiner des figures dans le plan et le disque hyperbolique. Le patch n'est pas encore finalisé mais une préversion est disponible sur le serveur trac de sage (ticket 9439).

Échanges d'intervalles et surfaces plates

Dans SAGE, depuis la version 4.3.1., on peut trouver des outils pour calculer autour de l'induction de Rauzy des échanges d'intervalles. Vous pouvez télécharger cette feuille de travail ou bien ce fichier de rendu au format pdf pour voir comment fonctionne la librairie.

Pour profiter des dernières fonctionnalités sur les surfaces de translation, il faut installer sage-combinat. Vous pouvez vous renseigner sur la page en anglais Flat surfaces: Sage usage.

Cette librairie permet entre autre de calculer des invariants associés aux difféomorphismes pseudo-Anosov que l'on peut obtenir à partir de l'induction de Rauzy. Ci-dessous, nous présentons les diagrammes de Rauzy des strates en genre 2 ainsi que les polyonmes caractéristiques des matrices obtenues en effectuant des boucles fermés dans ce diagramme. Ces dernières correspondent à l'action dans l'homologie de difféomorphismes pseudo-Anosov.

• H_hyp(2)
  • le diagramme de rauzy
  • liste des spectres
• H_hyp(1,1)
  • le diagramme de Rauzy
  • liste des spectres

A partir de ces données, on peut étudier les difféomorphismes pseudo-Anosov pour lesquels l'action dans l'homologie a deux valeurs propres 1 (autrement dit cette matrice preserve un sous-espace de dimension 2). Les premiers exemples dans la strate H(2), partant de la permutation a b c d/d c b a, sont:

• tttbtbtbtb : longueur 10, dilatation 3/2*sqrt(5) + 7/2 ~ 6.854,
• ttbtbttbttb : longueur 11, dilatation sqrt(15) + 4 ~ 7.873,
• ttbtbttbtttb : longueur 12, dilatation 1/2*sqrt(77) + 9/2 ~ 8.887,
• tttbtbtttbtb : longueur 12, dilatation 3/2*sqrt(13) + 11/2 ~ 10.908,
• tttbtbbtbttb : longueur 12, dilatation sqrt(35) + 6 ~ 11.916.

Le développement des libraries sur la dynamique des échanges d'intervalles et des surfaces de translation s'organise en collaboration dans les wikis suivants

• Flat surfaces wiki: un wiki sur les surfaces plates qui va bien au delà de la programmation (un dictionnaire de surfaces concrètes, comment faire des expériences, ...)
• dynamics in Sage: tout ce qui concerne la dynamique dans Sage
• FlatSurfaces: tout ce qui concerne les surfaces plates dans Sage

Le vent dans les arbres

Pour dessiner les trajectoires du billard appelé le vent dans les arbres, j'ai écrit un petit script Python. Il m'a permis d'illustrer certains articles et de dessiner la figure suivante qui représente une trajectoire de billard :

Ce dernier est facile à utiliser, mais si vous rencontrez des problèmes dans son utilisation n'hésitez pas à m'envoyer un courriel.