Vincent Delecroix

(english version)

Accès rapide

photo

Présentation

Je travaille en théorie des systèmes dynamiques et plus particulièrement sur deux types de modèles qui sont en interaction : certains systèmes d'entropie nulle (rotations, billards rationnels, points fixes de substitutions primitives, ...) et les dynamiques d'induction/renormalisation associées (fractions continues, flot de Teichmüller, systèmes S-adiques, ...) dont la dynamique est plutôt hyperbolique.

Je suis actuellement en post-doc avec Artur Avila dans l'équipe de géométrie et dynamique de l'Institut de Mathématiques, Paris VII.

Recherche

Mon travail de recherche concerne l'étude de familles de systèmes dynamiques via des procédures d'induction/renormalisation. Cette opération consiste à faire un "zoom" en espace et une accélération du temps. La renormalisation s'étudie comme un système dynamique sur la famille que l'on considère et le comportement d'un élément de notre famille sous l'action de la renormalisation se traduit en propriétés dynamiques de l'élément.

Un exemple important d'une telle famille est celui des flot de translations sur les surfaces dont la renormalisation est le flot de Teichmüller. Dans sa version en temps discret, cette famille corresponds aux échanges d'intervalles et l'induction de Rauzy.

Une autre partie de mon travail est l'étude de produits croisés associés à ces familles renormalisables. En temps discret, cela revient à étudier le comportement de sommes de Birkhoff. Ces techniques permettent de décrire la dynamique de certains billards périodiques dans le plan.

thèse

J'ai soutenu ma thèse sous la direction d'Arnaldo Nogueira le 16 Novembre 2011 (présentation au format pdf). Mon mémoire est disponible en version longue (173 pages) et en version courte (57 pages, contient l'introduction en français et la bibliographie de la version longue).

Publication

  • V. Delecroix "Cardinality of Rauzy classes" à paraître, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 63 (2013) (lien arxiv)
  • V. Delecroix, P. Hubert et S. Lelièvre "Diffusion for the periodic wind-tree model" à paraître, Ann. ENS (lien arxiv)

Prépublications

En cours

  • V. Delecroix, C. Ulcigrai Diagonal changes in hyperelliptic strata. A natural extension to Ferenczi-Zamboni induction
  • V. Delecroix Global complexity of S-adic systems

Collaborateurs: A. Avila, P. Hubert, S. Lelièvre, C. Matheus, C. Ulcigrai.

groupes de travail

J'ai coorganisé avec Pascal Hubert et Erwan Lanneau un groupe de travail sur les travaux de Benoist-Quint (la page contient quelques notes de cours et des références).

Exposés de séminaires

  • 27/03/2013, groupe de travail ARITH, LIRMM (Montpellier) "Complexité globale des systèmes S-adique"s
  • 25/03/2013, séminaire de théorie ergodique d'Orsay "Mélange faible des billards dans les polygones réguliers"
  • 07/03/2013, séminaire de théorie spectrale (Université Joseph Fourier, Grenoble) "Billards rationnels et renormalisation"
  • 26/02/2013, dynamics seminar (University of Chicago, Illinois) "Dynamics of the wind-tree model"
  • 25/02/2013, dynamics seminar (University of Chicago, Illinois) "Weak-mixing for billiards in regular polygons"
  • 05/02/2013, séminaire de théorie ergodique LPMA "Mélange faible du billard dans un polygone régulier"
  • 16/01/2013, théorie ergodique et systèmes dynamiques de Villetaneuse, LAGA (Paris) "Mélange faible dans les surfaces de Veech"
  • 04/12/2012, Combinatorial and Algebraic Structures seminar (Prague, République tchèque), "Global complexity of S-adic systems"
  • 23/11/2012, séminaire Teich (Marseille) "Mélange faible dans les surfaces de Veech"
  • 17/04/2012, séminaire probabilité et théorie ergodique LAMFA (Amiens), "Billards rationnels périodiques dans le plan. Le cas du modèle d'Ehrenfest."
  • 30/03/2012, Université fédérale de Niteroi (Brésil), "Infinite rational billiard and Teichmueller theory"
  • 22/02/2012, groupe de travail ARITH, LIRMM (Montpellier), "Diagrammes de Rauzy. Fraction continues et géométrie des surfaces"
  • 27/01/2012, séminaire Géométrie Dynamique, Laboratoire Paul Painlevé (Lille) "Billards périodiques dans le plan"
  • 18/01/2012, séminaire Dynamique quantique et classique, CPT (Marseille), "Dynamique des billards périodiques
  • 13/01/2012, séminaires Automates, LIAFA (Paris), "Trajectoires divergentes du vent dans les arbres"
  • 13/12/2011, Combinatorial and Algebraic Structures Seminar (Prague, République tchèque), "Divergent trajectories in a windtree model" (avec une présentation)
  • 01/12/2011, Ergodic Theory and Dynamical Systems seminar (Bristol, Angleterre) "Recurrence and diffusion for the periodic windtree model"
  • 25/11/2011, séminaire de systèmes dynamiques de l'IMJ (Paris), Le vent dans les arbres
  • 08/11/2011, séminaire de théorie ergodique LPMA (UPMC, Paris), Trajectoires divergentes du vent dans les arbres
  • 12/10/2011, théorie ergodique et systèmes dynamiques de Villetaneuse, LAGA (Paris)
  • 02/05/2011, séminaire de théorie ergodique de l'IRMAR (Rennes)
  • 09/12/2010, séminaire Géométrie - Topologie Dynamique (Orsay) "Diffusion du vent dans les arbres"
  • 23/10/2010, séminaire Teich (Marseille), "Diffusion du vent dans les arbres"
  • 14/01/2010, CPT rendez-vous des thésards (Marseille), "Dans un billard"
  • 08/12/2009, IML (Marseille) "Comptage des classes de Rauzy"
  • 10/12/2009, LIF (Marseille) "Classification de billards. Comptages" (avec une présentation)

Exposés de conférences

Enseignement

Si vous voulez apprendre à vous servir du logiciel de math Sage je vous conseille les livres (libres) suivants

Diffusion et popularisation de la recherche

Programmation (ou mathématiques expérimentales)

Je travaille sur des algorithmes autour de la dynamique symbolique et de la thérie de Teichmüller. Vous pouvez utiliser cette librairie dans sa version courante en téléchargeant le fichier flatsurf-5.6.tar (marche pour les versions 5.5 et 5.6 de SAGE) et en suivant les instructions contenues dans le fichier README.txt. Sage marche principalement sous Unix mais vous pouvez utiliser la clé USB live.

Géométrie hyperboliqe

Je prépare pour le logiciel SAGE, un patch pour dessiner des figures dans le plan et le disque hyperbolique. Le patch n'est pas encore finalisé mais une préversion est disponible sur le serveur trac de sage (ticket 9439).

Échanges d'intervalles et surfaces plates

Dans SAGE, depuis la version 4.3.1., on peut trouver des outils pour calculer autour de l'induction de Rauzy des échanges d'intervalles. Vous pouvez télécharger cette feuille de travail ou bien ce fichier de rendu au format pdf pour voir comment fonctionne la librairie.

Pour profiter des dernières fonctionnalités sur les surfaces de translation, il faut installer sage-combinat. Vous pouvez vous renseigner sur la page en anglais Flat surfaces: Sage usage.

Cette librairie permet entre autre de calculer des invariants associés aux difféomorphismes pseudo-Anosov que l'on peut obtenir à partir de l'induction de Rauzy. Ci-dessous, nous présentons les diagrammes de Rauzy des strates en genre 2 ainsi que les polyonmes caractéristiques des matrices obtenues en effectuant des boucles fermés dans ce diagramme. Ces dernières correspondent à l'action dans l'homologie de difféomorphismes pseudo-Anosov.

A partir de ces données, on peut étudier les difféomorphismes pseudo-Anosov pour lesquels l'action dans l'homologie a deux valeurs propres 1 (autrement dit cette matrice preserve un sous-espace de dimension 2). Les premiers exemples dans la strate H(2), partant de la permutation a b c d/d c b a, sont:
  • tttbtbtbtb : longueur 10, dilatation 3/2*sqrt(5) + 7/2 ~ 6.854,
  • ttbtbttbttb : longueur 11, dilatation sqrt(15) + 4 ~ 7.873,
  • ttbtbttbtttb : longueur 12, dilatation 1/2*sqrt(77) + 9/2 ~ 8.887,
  • tttbtbtttbtb : longueur 12, dilatation 3/2*sqrt(13) + 11/2 ~ 10.908,
  • tttbtbbtbttb : longueur 12, dilatation sqrt(35) + 6 ~ 11.916.

Le développement des libraries sur la dynamique des échanges d'intervalles et des surfaces de translation s'organise en collaboration dans les wikis suivants
  • Flat surfaces wiki: un wiki sur les surfaces plates qui va bien au delà de la programmation (un dictionnaire de surfaces concrètes, comment faire des expériences, ...)
  • dynamics in Sage: tout ce qui concerne la dynamique dans Sage
  • FlatSurfaces: tout ce qui concerne les surfaces plates dans Sage

Le vent dans les arbres

Pour dessiner les trajectoires du billard appelé le vent dans les arbres, j'ai écrit un petit script Python. Il m'a permis d'illustrer certains articles et de dessiner la figure suivante qui représente une trajectoire de billard :

Ce dernier est facile à utiliser, mais si vous rencontrez des problèmes dans son utilisation n'hésitez pas à m'envoyer un courriel.

Liens

Quelques sites dont je participe à la construction

courrier électronique : delecroix (at) math (dot) jussieu (dot) fr avec ma clé publique pour crypter vos envois.

L'outil standard pour crypter son courrier est la suite GNU Privacy Guard. Elle peut ensuite être utilisée pour son courriel avec le plugin Enigmail pour thunderbird ou fireGPG pour firefox.

adresse postale:
Bureau 9E01
175, rue du Chevaleret / 16, rue Clisson
75013 Paris