• Séminaire des thésards de l'IMJ

Je suis l'un des organisateurs du séminaire des thésards de l'IMJ, avec Florent Martin, Hélène Eynard-Bontemps et Jean Raimbault.

Pour les doctorants et jeunes docteurs, ce séminaire est l'occasion de présenter leur domaine de recherche et les problématiques qui l'animent. L'exposé a lieu face à un public de thésards, mais tout type de public est également le bienvenu. L'ambiance est informelle afin de permettre à tout le monde de poser les questions qu'il souhaite. Les jeunes thésards ou les chercheurs plus expérimentés intéressés par la possibilité de donner un exposé à ce séminaire sont tous bienvenus, qu'ils soient membres de l'Institut ou non.

Horaire : un jeudi sur deux à 17h00 (1 heure d'exposé, suivie de questions, puis d'un verre offert par le séminaire)
Lieux : Jussieu ou Chevaleret

Le programme des exposés futurs est aussi disponible ici, et les archives là. Après avoir rappelé quelques notions sur les espaces Gromov-hyperboliques, nous définirons ce qu'est l'entropie d'un semi-groupe d'isométries, qui est une généralisation de l'exposant critique des groupes discrets, et qui correspond à "mesurer" l'espace occupé par l'orbite d'un point. Nous verrons que tout semi-groupe non élémentaire contient des sous-semi-groupes de Schottky (c'est-à-dire des semi-groupes de type fini pour lesquels les générateurs jouent au "ping-pong") et de grande entropie. Cela s'obtient gràce au principe du "ping-pong", qui consiste à trouver des parties disjointes dans lesquelles les isométries contractent. Le résultat permet d'obtenir des corollaires tels que la semi-continuité inférieure de l'entropie, ou encore l'égalité entre entropie et dimension de Hausdorff de l'ensemble limite radial. On verra également comment ce résultat sur les semi-groupes permet d'obtenir un résultat sur les groupes. Les groupes des tresses a été introduit par Artin en 1925. Ils ont une description complètement topologique et une autre en terme de générateurs et relations. En 2006, R. Rouquier a donné une catégorification des groupes de tresses à l'aide des bimodules de Soergel.
J'expliquerai en quoi la fermeture de tresse et l'homologie de Hochschild peuvent être vues comme des traces et j'énoncerai un théorème de Khovanov disant que ces deux notions de trace sont bien compatibles. Etant donné un système d'équations polynomiales homogènes à coefficients entiers en plusieurs variables "possédant beaucoup de solutions", nous nous intéressons au problème de quantifier le nombre de solutions de ce système. En d'autres termes, nous souhaitons étudier la distribution des points rationnels sur la variété projective sous-jacente V. Dans un contexte naturel dicté par la géométrie de V, une conjecture de Manin prédit le comportement asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée sur V. Nous essaierons d'apporter des éléments heuristiques soutenant cette conjecture et nous l'illustrerons sur des exemples. Cet exposé est consacré à l'étude d'équations aux dérivées partielles (linéaires et elliptiques) intégrant des oscillations (périodiques) à l'échelle microscopique. Celles-ci peuvent être dues à des hétérogénéités dans les propriétés du milieu (matériaux composites) ou dans le bord (rugosités). L'enjeu mathématique, toujours actuel, est de comprendre l'influence de ces échelles, de taille caractéristique epsilon, sur le comportement asymptotique des solutions lorsque epsilon tend vers 0. Nous montrerons que, d'une part, ces oscillations peuvent être homogénéisées, et que, d'autre part, elles sont la cause de phénomènes de concentration près du bord, les couches limites. On s'intéresse une famille systèmes dynamiques faciles à définir : l'action d'une matrice à coefficients entiers sur le tore R^d/Z^d. Dans beaucoup de cas, l'étude de ces systèmes se ramène à l'étude d'un espace de suites sur un alphabet fini, aux propriétés combinatoires très simples. Cela est possible en codant les orbites en fonction d'un découpage ingénieux du tore en un nombre fini de morceaux. Dans cet exposé, on expliquera comment construire explicitement ces codages en dimension 2. En dimension 3 et plus, les choses se compliquent mais donnent naissances à de jolis objets fractals. Attention, cet exposé contient beaucoup de figures. La géométrie tropicale est une branche des mathématiques qui peut être définie comme la géométrie algébrique sur le semi-anneau tropical. Aussi, les mots tropical ou tropicalisation apparaissent de plus en plus dans quelques autres domaines mathématiques. L'une des raisons en est que le point de vue tropical permet fréquemment d'abord de simplifier un problème, et la solution au problème tropical peut apporter ensuite une solution au problème initial. De plus, la solution au problème tropical peut souvent être exprimée de manière combinatoire. Dans cette expose on donnera un exemple de ce processus de tropicalisation avec un problème en géométrie énumérative complexe: combien des courbes complexes de genre g passent a travers d'une configuration de 3d+g-1 points dans le plan projectif complexe? On obtient l'énoncé tropical correspondent en remplaçant courbes complexes par courbes tropicales et plan projectif complexe par plan euclidien. Le problème tropical est résolu par le Théorème de la Correspondance de Mikhalkin, qui nous donne précisément une correspondance entre les courbes complexes et les courbes tropicales qui nous intéressent. Finalement, les diagrammes en étages de Brugallé-Mikhalkin permettent d'exprimer cette solution d'une façon combinatoire; on en parlera si le temps le permet. Soit G un groupe de Lie, l'espace S(G) de ses sous-groupes fermés est muni d'une topologie compacte appelée topologie de Chabauty. Si G/H est un espace homogène sous G, le plongement dans S(G) définit la compactification de Chabauty de G/H. Je décrirai cette compactification pour l'espace symétrique SL_n(R)/SO(n), ainsi que pour l'espace de ses plats maximaux SL_n(R)/Diag. Depuis la révolution du séquençage du génome humain en l'an 2001 (au prix de 12 ans de recherche et de 3 milliards de dollars) les technologies ont connu un tel essor qu'il est maintenant possible de séquencer plusieurs génomes simultanément en quelques heures et pour seulement quelques milliers de dollars. Ces technologies produisent une quantité de données de l'ordre de la taille du génome, soit 10^9 points, si bien qu'il est nécessaire de développer des outils statistiques pour les analyser. Je présenterai au travers de l'exemple de l'annotation du génome de la levure les étapes de modélisation des données puis de segmentation du signal, et des problèmes d'estimation des paramètres qui entrent en jeu. Le programme de Langlands sur un corps local a pour objectif une vaste généralisation de la théorie du corps de classe. Toute la puissance des idées de Langlands réside dans la notion de fonctorialité. Nous essayerons d'illustrer sur l'exemple de GL₂ ces idées.
Après avoir fait quelques rappels sur le corps des nombres p-adiques et la théorie du corps de classe locale, nous parlerons des réprésentations lisses de GL₂(Q_p). Cela nous permettra d'énoncer et de discuter trois cas particuliers de fonctorialité : la correspondance de Langlands, le changement de base et la correspondance de Jacquet-Langlands. Dans cet exposé je présenterai un domaine des mathématiques assez jeune et très dynamique qui est un bon exemple de l'interaction fructueuse entre l'algèbre et la topologie. C'est la théorie des quandles. On commencera par exposer deux chemins très différents (l'un algébrique et l'autre topologique bien sûr) qui ont amené des mathématiciens à s'intéresser aux opérations auto-distributives sur un ensemble (i.e. qui satisfont la relation (a*b)*c = (a*c)*(b*c)). Une telle opération est à la base de la structure de quandle. On verra grâce aux exemples algébriques très variés que cette relation est beaucoup moins exotique que l'on ne pourrait le croire. L'un des exemples de base est un groupe dont on oublie la multiplication, en n'en gardant qu'un souvenir assez vague - la conjugaison, qui donne l'opération auto-distributive a*b = b^-1ab. Un exemple topologique suivra, tout seul mais extrêmement puissant : il donnera un invariant universel faible des noeuds. La partie finale de l'exposé sera dédiée à une autre apparition (assez miraculeuse !) de l'auto-distributivité en topologie : on verra comment cet outil algébrique a permis à Dehornoy d'ordonner le groupe des tresses. L'exposé sera accessible à un large public. Il y aura suffisamment d'exemples pour comprendre à la fois l'intérêt de cette (encore une !..) notion algébrique et son fonctionnement. Le niveau d'abstraction restera très bas : je ne parlerai ni de catégories, ni d'homologie. La partie topologique se restreindra modestement à la dimension trois. Le calcul moulien a été introduit par Jean Ecalle au cours de ses nombreux travaux, aussi bien dans le domaine des formes normales de champs de vecteurs que dans l'étude de singularités, ou plus récemment pour démontrer certaines propriétés algébriques des polyzêtas. Les moules sont des objets on ne peut plus concret : ce sont des "fonctions à un nombre variable de variables". Après avoir rappelé les notions d'algèbre tensorielle et cotensorielle, on définit les moules et les principales opérations algébriques sur ces objets via les séries formelles non-commutatives associées. On donne la traduction des diverses propriétés algébriques des séries (primitives/group-like) sur les moules associés conduisant aux symétries alternal/symétral. Pour finir, on s'interesse au problème de la recherche de formes normales de champs de vecteurs locaux de C^v. On donne une version moulienne de la démonstration du théorème classique de Poincarré. Outre l'apport conceptuel, cette démonstration donne une forme explicite du normalisateur et permet de montrer l'existence de coefficients universels. Si on prend une ficelle, qu'on y fait un nœud et qu'on en recolle les bouts, il peut arriver qu'en tirant sur différents brins, on se ramène à un anneau dénoué. Quelques minutes suffiront pourtant pour se convaincre que ce n'est pas toujours le cas - pour le plus grand bonheur des grimpeurs et des marins. L'aspect mathématique de cette question a reposé jusqu'à la fin des années 90 sur l'étude d'invariants polynomiaux. En 2000, M. Khovanov a relevé l'un des plus célèbres en une théorie homologique, dont le polynôme de Jones constitue l'aspect décatégorifié, c'est-à-dire la caractéristique d'Euler. Après une analyse rapide du passage d'une caractéristique d'Euler à une théorie homologique dans le cas élémentaire des surfaces triangulées, cet exposé présentera une version géométrique de l'homologie de Khovanov. L'idée directrice sera de remplacer tous les entiers rencontrés par des dimensions d'espaces vectoriels, et de trouver ensuite les bonnes applications entre ces espaces. Si le temps le permet, on verra comment ces idées peuvent parfois s'étendre à des objets à coefficients rationnels. La construction sera géométrique et ne demande aucune connaissance préalable. Dans un premier temps, nous donnerons un panorama des courbures associées à une métrique riemannienne afin de situer le rôle de la courbure de Ricci. Puis nous introduirons le flot de Ricci sur une variété riemannienne, initié et largement développé par Hamilton, puis par Perelman (pour ne citer qu'eux). Les vertus du flot de Ricci sont celles d'une équation de la chaleur: le flot tend à uniformiser la métrique. Seulement, rares sont les cas où la solution est explicite. Pour une étude qualitative, on considèrera le flot de Ricci comme un système dynamique sur l'espace des métriques d'une variété donnée. Ce qui nous permettra d'introduire les notions de points fixes et de solutions périodiques du flot de Ricci. Perelman a montré, entre autres, que ces dernières sont triviales dans le cas d'une variété compacte. Vient alors la question suivante: quelle est la géométrie-topologie des points fixes de Ricci non compacts? Un groupe algébrique affine est un groupe que l'on peut définir géométriquement : dans un espace affine, c'est le lieu des zéros de polynômes, tel que les opérations de groupe (multiplication et inversion) sont polynomiales.
Par ailleurs, la philosophie de la géométrie non commutative est la suivante : à une certaine classe d'objets géométriques, on associe une classe d'objets algébriques, tout en s'assurant que la correspondance soit "biunivoque"; on élargit alors la classe du côté algébrique en relâchant certaines conditions de commutativité. Il faut donc imaginer que la correspondance géométrie-algèbre s'étende également, de telle sorte que les nouveaux objets algébriques non commutatifs correspondent à de nouveaux mais "virtuels" objets géométriques non commutatifs.
On verra que l'esprit de la géométrie non commutative nous mène alors naturellement des groupes algébriques affines (considérés comme objets géométriques) vers les algèbres de Hopf, mais aussi du plan affine vers le plan quantique, ainsi que du groupe SL(2) vers le groupe quantique SL_q(2).
Historiquement, la découverte des groupes quantiques est liée à la recherche de solutions d'une certaine équation dite de Yang-Baxter. Nous verrons comment en contrôlant le défaut de non commutativité de certaines algèbres de Hopf comme SL_q(2), on réussit à produire une large classe de solutions à cette équation. La théorie de Galois différentielle est l'analogue de la théorie de Galois classique pour les équations différentielles. Etant donnés un corps K muni d'une dérivation et un système différentiel linéaire à coefficients dans K, de rang n, on s'intéresse à la plus petite extension de K contenant les solutions de l'équation. On construit un objet, le groupe de Galois différentiel, qui mesure les relations algébriques et différentielles entre les solutions. On peut voir ce groupe comme un sous groupe algébrique de GL(n,C), où C est le sous corps de K d'élements de dérivées nulles. Autrement dit, le groupe de Galois différentiel est un fermé de GL(n,C) pour la topologie de Zariski. Nous finirons cet exposé par un important théorème de Ramis qui donne une série de générateurs topologiques de ce groupe. Aucune connaissance en géométrie algébrique ou en théorie de Galois ne seront requises pour suivre l'exposé.